Le calcul mental est un bon entraînement pour le développement cognitif car il nécessite de travailler la mémoire de travail, la vitesse de traitement des informations et la concentration.

Cependant, se concentrer intensément sur une suite de calculs pour s'apercevoir à la fin que le résultat est incorrect et ce depuis le premier calcul est un sentiment que l'on ne vous souhaite pas.

L'objectif de cette fiche est de vous décrire un outil de vérification, avec pour objectif de vous aider à détecter rapidement quand un résultat ne peut pas être correct.

Un ordre de grandeur est une valeur approchée d’un nombre ou du résultat d’un calcul. L’idée est de remplacer les nombres utilisés dans le calcul par des nombres “proches” plus simples, l’objectif étant de simplifier le calcul pour avoir en quelques secondes une idée du résultat.

Prenons 97.4\times52.7. L’opération est assez pénible à effectuer (surtout de tête), mais si on remplace 97.4 par 100 et 52.7 par 50, elle devient 100\times50, qui est bien plus rapide (si ce n’est pas le cas, la fiche Multiplier par 10, 100, 1000, ... vous sera utile).

Le résultat obtenu ne sera pas exact (100\times50=5000 alors que 97.4\times52.7=5132.98), mais il peut être suffisant pour vous donner un ordre de grandeur du résultat recherché et vous pousser à refaire votre calcul si le résultat que vous avez obtenu en est très éloigné.

Typiquement, si vous allez trop vite et qu’au lieu de calculer 97.4\times52.7 vous calculez 9.74\times52.7 (que ce soit de tête ou avec une calculatrice), vous obtiendrez 513.298. Si vous n’avez pas la moindre idée du résultat attendu, vous ne verrez pas forcément l’erreur (surtout si vous ne l'avez pas fait de tête mais avec une calculatrice).

Par contre, si vous avec le reflexe de calculer un ordre de grandeur, vous vous apercevrez que le résultat que vous avez obtenu est trop éloigné (quasiment 10 fois plus petit !) de l’ordre de grandeur et qu'il est donc nécessaire de refaire votre calcul en faisant plus attention.

Comme toutes les Astuces hors-calcul, cette astuce ne garantit pas que votre résultat soit correct s’il est proche de l’ordre de grandeur ; son objectif est de vous indiquer quand un résultat ne peut pas être correct.

Comment choisir le nombre “proche” par lequel remplacer le nombre initial pour simplifier le calcul et trouver rapidement un ordre de grandeur ?

Que ce soit pour additioner, soustraire, multiplier ou diviser, les nombres les plus simples à manipuler sont les puissances de 10 et leurs multiples, c’est donc ce qu’on utilise, en choisissant la puissance de 10 à utiliser selon la précision que l’on souhaite.

Illustrons avec un exemple, le nombre 7 654 :

• On peut arrondir à la dizaine de milliers : 7654 → 10000 : l’écart avec le nombre intial est conséquent (\sim30\% trop haut), mais l’opération dans laquelle le nombre est utilisé deviendra beaucoup plus évidente
• Si l’on a besoin de plus de précision, on peut arrondir au millier près : 7654 → 8000 : l'écart s’est beaucoup réduit (\sim4.5\%), mais les calculs seront un peu moins simples
• À la centaine près, 7654 devient 7700 : on commence à être très précis (\sim0.6\%) mais on ne gagne pas grand-chose point de vue simplicité du calcul
• Et à la dizaine près, on obtient 7654 → 7650, le résultat obtenu sera très proche de la réalité, mais le calcul n’aura que très peu réduit en complexité

Dans cet exemple, on ne peut pas être plus précis, mais si le nombre comprenait des chiffres après la virgule, on pourrait arrondir à l’unité, voire au dixième, au centième, …

Comme vous pouvez le constater, plus la puissance de 10 est faible, plus l’arrondi sera proche du nombre initial, et plus les calculs seront complexes.

Un conseil que l’on peut vous donner est d’arrondir à la puissance de 10 correspondants au nombre de chiffres du nombre initial (7654 → 8000 ; 123 → 100 ; 99123 → 100000 ; …) pour que le calcul soit simple, et s’il s’avère que le résultat obtenu n’est pas assez précis pour vérifier votre réponse, réduisez la puissance et recommencez, mais en général pour se faire une idée ça suffira.