Les suites logiques sont en général une suite de nombre pour lesquelles il faut trouver le nombre permettant de continuer la suite en conservant la même logique.
Par exemple : 2, 4, 6, 8, ?

Le saviez-vous ? Il existe un organisme, la fondation OEIS, qui référence toutes les suites de nombres entiers connues. Par exemple, la fiche de la suite de Fibonacci.

Dans cette fiche, le terme "raison" sera utilisé pour désigner le moyen de passer d'un élément au suivant dans une suite (par exemple, "multiplier par 5").

Nous utilisons le terme "raison" d'une manière légèrement différente de ce que vous avez peut-être appris en mathématiques. En mathématiques, la "raison" se réfère uniquement à un nombre utilisé pour définir une suite arithmétique ou géométrique, où l'opération à appliquer est déjà connue. Cependant, dans cette fiche, la "raison" englobe à la fois l'opération et le nombre à appliquer pour passer d'un élément au suivant. Ainsi, une "raison" pourrait être "multiplier par 5" ou "ajouter 3".

Pour notre analyse, on séparera les suites logiques en différentes catégories :

• Les suites dont la raison est constante
• Les suites positionnelles
• Les suites dont la raison dépend des nombres précédents
• Les suites non mathématiques

Ces catégories et leur nom ont été inventés pour vous aider à distinguer les suites, mais ne sont en aucun cas officiels.

En théorie, il existe une infinité de suites (on peut même trouver une fonction mathématique permettant de continuer n’importe quelle suite donnée avec n’importe quel nombre), mais ce n’est pas pertinent dans le cadre des suites logiques.

L’exemple donné en début de fiche (2, 4, 6, 8, ?) rentre dans cette catégorie : en effet pour passer d’un nombre au suivant, il suffit à chaque fois d’ajouter 2 (2 + 2 = 4 ; 4 + 2 = 6 ; 6 + 2 = 8 ; 8 + 2 = 10).

Ce sont en général les suites les plus simples.

Pour trouver la raison, il faut regarder l'écart entre les nombres : si c’est toujours le même, alors la raison est une addition ou une soustraction simple ; sinon, c’est vraisemblablement une division ou une multiplication.

Prenons l'exemple suivant : 2, 4, 8, 16, 32, ?

L'écart entre un élément et son suivant n’est pas toujours le même (entre 2 et 4 il y a 2 alors qu’entre 4 et 8 il y a 4), il ne s’agit donc pas d’une addition/soustraction. On essaie de diviser un nombre par celui qui le précède (on pourrait faire l’inverse mais ce serait moins pratique puisque le plus grand nombre est toujours le suivant dans notre exemple) :

• 4 / 2 = 2
• 8 / 4 = 2
• 16 / 8 = 2
• 32 / 16 = 2

Diviser un nombre par son précédent donne toujours 2, ce qui veut dire qu’il faut multiplier un nombre par 2 pour trouver le suivant. On en déduit que l'élément qui continue la suite est 32 x 2 = 64.

Ce n’est pas parce que la raison est constante qu’elle est nécessairement simple à déterminer.

Si l'on considère la suite : 1, 3, 7, 15, 31, ?

La raison est constante : on applique toujours le même calcul pour passer d’un nombre à son suivant.

Ceci dit, pouvez-vous déterminer sa raison ? Indice pour les étudiants : il s’agit d’une suite arithmético-géométrique.

Pour passer d’un nombre au suivant il faut multiplier par 2 puis ajouter 1 :

• 1 x 2 + 1 = 3
• 3 x 2 + 1 = 7
• 7 x 2 + 1 = 15
• 15 x 2 + 1 = 31

Le nombre suivant est donc : 31x2 + 1 = 63

Il est assez compliqué de vous donner des astuces qui fonctionneront tout le temps. Cependant, en supposant que la raison ne soit pas volontairement extrêmement complexe, certains outils peuvent vous aider :

• Vous pouvez analyser l’écart : on voit que l'écart entre un élément et le suivant croit beaucoup, on peut donc se douter qu’il y a une multiplication dans la raison.
• Vous pouvez aussi analyser la parité : dans notre cas, tous les nombres sont impairs et vu que multiplier un nombre quelconque par un nombre pair donne toujours un nombre pair on peut se douter qu’il faudra ajouter un nombre impair dans la raison.

On retrouvera dans cette catégorie les suites pour lesquelles la raison est elle-même l’ajout, la multiplication, la soustraction ou la division d'une suite. Prenons par exemple : 0, 1, 3, 6, 10, 15, ?

Dans cette suite, pour passer d’un élément au suivant, il faut ajouter la position de l'élément :

• 0 + 1 = 1
• 1 + 2 = 3
• 3 + 3 = 6
• 6 + 4 = 10
• 10 + 5 = 15

L'élément qui continue la suite est donc : 15 + 6 = 21

Ces suites sont assez simples à reconnaître car ce sont celles qui ne rentrent pas dans les autres catégories (l'écart d’un nombre à l’autre change tout le temps, le quotient aussi, on peut essayer de travailler avec les éléments précédents mais on arrive vite à la conclusion que rien en fonctionne, …).

Cependant, les reconnaître et trouver la raison sont 2 choses différentes. Bien qu’elles puissent être très complexes à analyser, les cas les plus simples se résolvent naturellement en essayant d'éliminer les autres catégories. Si on reprend notre exemple (0, 1, 3, 6, 10, 15), et qu’on calcule les différences entre un élément et le suivant pour voir si la suite fait partie de la première catégorie (raison constante) :

• 1 - 0 = 1
• 3 - 1 = 2
• 6 - 3 = 3
• 10 - 6 = 4
• 15 - 10 = 5

On remarque effectivement qu’elles changent à chaque étape, mais on peut comprendre que ce n’est pas un hasard que l'écart croisse de 1 à chaque étape !

On trouve dans cette catégorie certaines des suites les plus connues et utilisées au monde. Par exemple, la suite de Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ?

Dans cette suite, pour passer d’un nombre à l’autre, il faut ajouter le nombre à celui qui le précède :

• 1 + 1 = 2
• 2 + 1 = 3
• 3 + 2 = 5
• 5 + 3 = 8
• 8 + 5 = 13
• 13 + 8 = 21

On déduit que le nombre qui continue la suite est 21 + 13 = 34.

Malheureusement, pour ces suites, il n'y a pas d'astuces spécifiques en raison du trop grand nombre de combinaisons possibles. La meilleure approche est de se baser sur le contexte : si la suite vous est proposée lors d'un test, il est probable qu'elle soit une variante de Fibonacci (par exemple, en additionnant les deux nombres précédents) ; en revanche, si la suite a été générée automatiquement, c'est une autre histoire...

Considérons par exemple la suite 1, 11, 21, 1211, ?

Vous pouvez chercher tous les liens mathématiques que vous souhaitez, ça ne vous aidera pas. Même si l'on vous donne le nombre d’après ne vous aidera probablement pas non plus : il s’agit de 111221.

Quel est le suivant ?

En fait, dans cette suite, chaque élément décrit les chiffres qui composent le nombre précédent :

• On choisit un nombre initial (1 dans notre exemple)
• On le décrit : il y a un “1” → un “1” → 11
• On répète le procédé pour 11 : il y a deux “1” → 21
• Idem pour 21 : il y a un “2” et un “1” → 12 (et) 11 → 1211
• 1211 : il y a un “1”, un “2”, et deux “1” → 111221

Le nombre d’après est donc la description de 111221 : trois “1”, deux “2” et un “1” → 312211

Si vous avez du mal à visualiser l’explication, prononcez la description des chiffres de chaque nombre à haute voix.