Le calcul mental est un bon entraînement pour le développement cognitif car il nécessite de travailler la mémoire de travail, la vitesse de traitement des informations et la concentration.

Être bon en calcul mental consiste à être capable de décomposer un calcul complexe en différents calculs simples et à les résoudre rapidement de tête et connaître différentes formules donnant immédiatement la réponse à certains calculs augmente la quantité de décompositions que vous pouvez utiliser lors de vos calculs.

L'objectif de cette fiche est de vous apprendre à jouer avec les pourcentages, pour les calculer facilement. Ces techniques pourront s'avérer utiles pour les fractions, et donc pour manipuler certaines divisions.

Certains pourcentages sont plus simples que d’autres : 50\% représente la moitié de la quantité initiale, 25\% c’est un quart, 10\% un dixième, … Au contraire, calculer par exemple 38\% d’un nombre est beaucoup moins simple.

Le but de cette fiche est d’utiliser les propriétés des pourcentages pour en déduire des méthodes pouvant simplifier grandement certains calculs.

On a expliqué dans l’introduction que 50\% d’un nombre représentait la moitié de ce nombre (par exemple, 50\% de 14, c’est la moitié de 14, c'est-à-dire 7).

Mais comment cela fonctionne-t-il mathématiquement ?

Un pourcentage consiste à dire - comme son nom peut le sous-entendre - “si je découpe une quantité en 100 parts égales, et que j’en garde un certain nombre, combien ai-je pris au total ?”. Pour reprendre l’exemple ci-dessus, calculer 50\% de 14 revient à découper 14 en 100 parts égales \left(\frac{14}{100}\right) et ne garder que 50 de ces parts \left(\frac{50\times14}{100}\right).

Calculer un pourcentage revient donc à faire une multiplication et une division par 100, et donc toutes les règles s’appliquant aux multiplications et aux divisions s’appliquent aussi aux pourcentages, et c’est là-dessus qu’on va jouer pour simplifier au maximum les calculs.

Il existe certains pourcentages naturellement rapides à calculer : ce sont ceux qui se simplifient une fois divisés par 100 :

• 50\% \rightarrow \frac{50}{100} = \frac{1}{2}, donc prendre 50\% d’un nombre revient à le diviser par 2 : 50\% de 32 = 16
• 25\% \rightarrow \frac{25}{100} = \frac{1}{4}, ce qui revient à diviser par 4 le nombre initial (trouver la moitié de sa moitié : 25\% de 32 = 8, car la moitié de 32 est 16, et la moitié de 16 est 8.
• 10\% \rightarrow \frac{10}{100} = \frac{1}{10}, ce qui revient à diviser par 10 il suffit donc de diviser le nombre initial par 10 : 10\% de 32 = \frac{32}{10} = 3.2.

Parfois, plutôt que de se demander à quelle quantité correspond un certain pourcentage, il peut être plus avantageux de se demander combien enlever à 100\% :

• 90\% \rightarrow 100\% - 10\%, il faut donc enlever 10\% du nombre. Par exemple, pour calculer 90\% de 130, on calcule 10\% de 130 (= \frac{130}{10} = 13), qu’on enlève de 130 : 130 - 13 = 117.
• 75\% \rightarrow 100\% - 25\%, il faut donc trouver le quart le soustraire au nombre initial : 75\% de 32 = 32 - 8 = 24

On a vu au-dessus que pour calculer un pourcentage, il fallait multiplier le nombre initial avec le pourcentage recherché puis diviser par 100 : 32\% de 25 = 32\times\frac{25}{100}.

Or, on sait qu’on a le droit d'échanger l’ordre des opérandes dans une multiplication sans en changer le résultat : 3\times4=12=4\times3

On peut donc en déduire que 32\times\frac{25}{100} donne le même résultat que 25\times\frac{32}{100}, et donc que 32\% de 25 = 25\% de 32, ce qui est beaucoup plus simple à calculer, puisque pour trouver 25\% d’un nombre, il suffit de le diviser par 4, d’où 32\% de 25 = 25\% de 32 = 8.

Toutes les astuces de calcul mental parlant de multiplications peuvent vous aider à calculer des pourcentages très rapidement : par exemple, si vous avez acquis les astuces de la partie Multiplication par moyenne et écart, vous devriez pouvoir calculer 27\% de 33 très rapidement : 27\% de 33 = \frac{27\times33}{100} = \frac{891}{100} = 8.91.

Dans la liste des propriétés des multiplications utiles pour manipuler des pourcentages, on peut citer la distributivité de la multiplication (sur l’addition et la soustraction), qui dit que l'on peut décomposer une multiplication en additions (et/ou en soustractions) : 35\times56=(25+10)\times56=25\times56+10\times56.

Par exemple, si l’on doit calculer 35\% de 56, on n’a pas d’astuce toute faite, mais on en a pour 25\% et 10\%, on peut donc simplement découper : 35\% de 56 = 10\% de 56 + 25\% de 56 = 5.6 + 14 = 19.6.

Dans la même veine, si l’on doit calculer 40\%, on peut calculer 50\% (la moitié), 10\% (le dixième), et dire que 40\% c’est 50\%-10\% : 40\% de 72 = 50\% de 72 - 10\% de 72 = 36 - 7.2 = 28.8

On peut combiner toutes les astuces, tant que le découpage est correct.