Le calcul mental est un bon entraînement pour le développement cognitif car il nécessite de travailler la mémoire de travail, la vitesse de traitement des informations et la concentration.

Être bon en calcul mental consiste à être capable de décomposer un calcul complexe en différents calculs simples et à les résoudre rapidement de tête et connaître différentes formules donnant immédiatement la réponse à certains calculs augmente la quantité de décompositions que vous pouvez utiliser lors de vos calculs.

L'objectif de cette fiche est d'augmenter la quantité de multiplications que vous pouvez calculer en quelques secondes.

Si on vous demande de calculer 33\times27 de tête en 5 secondes, y arrivez-vous ?

Probablement pas, sinon vous ne seriez pas sur cette page.

Et si cette fois, on vous demande de calculer de tête 30^2-3^2 ?

C’est à priori beaucoup plus réalisable :

Eh bien, figurez-vous que 33\times27 a le même résultat que 30^2-3^2 (c'est-à-dire 891).

On connaît ces résultats grâce aux Identités Remarquables. L'objectif de cette fiche est de vous expliquer quand et comment utiliser les formules pour calculer certaines multiplications très rapidement

On pourrait traduire cette formule par “si on doit multiplier deux nombres, il suffit de trouver leur moyenne et l'écart entre les nombres et la moyenne, et le résultat de la multiplication est moyenne^2-écart^2.

Illustrons en reprenant l’exemple de l’introduction : 33\times27.

La première étape est de trouver la moyenne. Pour trouver la moyenne, une méthode qui fonctionne toujours est d’additionner les deux nombres puis de diviser le résultat par 2, mais en général ce calcul n’est pas nécessaire, on peut la trouver en testant plusieurs valeurs. Dans notre exemple, la moyenne est 30 : \frac{27+33}{2}=\frac{60}{2}=30.

La seconde étape consiste à trouver l'écart entre les nombres et la moyenne. On obtient cette valeur en faisant la soustraction entre un des nombres et la moyenne. Dans notre exemple, 30-27=3 (on aurait aussi pu calculer 33-30 qui aurait donné le même résultat).

Il suffit ensuite de mettre la moyenne au carré, l'écart au carré, et de les soustraire.

Ça peut sembler complexe la première fois, mais avec un tout petit peu d’entraînement, vous trouverez immédiatement la moyenne et n’aurez qu'à calculer la différence entre deux carrés.

Autre exemple

Prenons un nouvel exemple : 15\times25

Vous aurez peut-être remarqué que dans les exemples choisis, la moyenne et l'écart sont toujours simples à mettre au carré.

Mais comment faire si ce n’est pas le cas ?

Eh bien… c’est une bonne question ! Soyons clairs : cette méthode a pour but de simplifier certaines multiplications, mais n’est pas une formule magique pour ne plus jamais avoir à calculer de multiplications (ce serait trop simple) ! Cependant, il y a des techniques permettant de faciliter le calcul d’un nombre au carré, que vous retrouverez dans d’autres fiches, comme Carré d'un nombre finissant par 5 ou Carré proche d'un carré facile.

L’astuce a été expliquée juste au-dessus, cette section totalement facultative explique pourquoi ce résultat est correct mathématiquement, pour ceux que ça intéresse.

Si on réécrit la multiplication en intégrant la moyenne et l’écart, 27 devient (30-3) et 33 devient 30+3 ; le calcul devient donc 27\times33=(30-3)\times(30+3).

L’intérêt de cette transformation est qu’on peut utiliser l’identité remarquable (a+b)\times(a-b)=a^2-b^2, pour que le calcul devienne 27\times33=(30-3)\times(30+3)=30^2-3²=900-9=891