Le calcul mental est un bon entraînement pour le développement cognitif car il nécessite de travailler la mémoire de travail, la vitesse de traitement des informations et la concentration.

Être bon en calcul mental consiste à être capable de décomposer un calcul complexe en différents calculs simples et à les résoudre rapidement de tête et l'objectif de cette fiche est justement de vous fournir les outils mathématiques permettant de simplifier n'importe quel calcul.

Les astuces de calcul permettent de résoudre plus facilement une opération d’une forme précise (par exemple, mettre au carré un nombre finissant par 5), et bien que ces astuces permettent de gagner du temps, elles ne s’appliquent que lorsque le calcul à la forme qui convient.

Il peut cependant être utile de connaître les règles permettant de manipuler les calculs, pour au moins trois raisons :

• Vérifier que les astuces données dans les autres fiches sont valables
• Pouvoir créer d’autres astuces
• Être capable de simplifier les calculs classiques, peu importe à quoi ils ressemblent

Si votre objectif n’est pas nécessairement de comprendre ou de savoir généraliser, mais simplement d’appliquer les astuces quand elles se présentent, cette fiche ne vous apportera pas grand-chose. Si par contre vous souhaitez vous améliorer en calcul de manière globale, il est probablement indispensable de maîtriser les outils de cette fiche.

Les autres astuces utilisent les propriétés décrites ici, vous retrouverez donc des exemples naturellement en naviguant dans toutes les sections du calcul mental.

Pour les férus de mathématiques, les propriétés énoncées ci-dessous s’entendent pour \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q} ou \mathbb{R}, les autres ensembles sont ignorés. En effet, expliquer par exemple que la multiplication de matrices n’est pas commutative risque de fortement complexifier la lecture sans pour autant apporter quoi que ce soit aux utilisateurs voulant simplement apprendre à calculer plus rapidement au quotidien.

Une opération est commutative si l’on peut échanger les deux opérandes sans changer le résultat final.

C’est le cas de la multiplication (2\times4=4\times2) et de l’addition (3+5=5+3) mais pas de la soustraction (3-5\neq5-3) ni de la division \left(\frac{8}{4}\neq\frac{4}{8}\right).

Cette règle sert notamment à réduire le nombre de cas à apprendre (pour les tables de multiplication par exemple) ou d’inverser certains calculs pour qu’ils aient la bonne forme et qu’on puisse leur appliquer une formule ou une astuce.

Une opération est associative si on peut calculer une suite d’opérations dans n’importe quel ordre.

• La multiplication l’est : (3\times4)\times5=12\times5=60 et si on commence par la fin : 3\times(4\times5)=3\times20=60
• L’addition aussi : (1+2)+3=3+3=6 et si on commence par la fin : 1+(2+3)=1+5=6
• La soustraction ne l’est pas : (8-3)-2=5-2=3 alors que si on commence par la fin : 8-(3-2)=8-1=7
• La division non plus ne l’est pas : (16\div4)\div2=4\div2=2 alors que si on commence par la fin : 16\div(4\div2)=16\div2=8

Cette propriété sert à découper des calculs pour les simplifier. Par exemple, plutôt que de calcul 18\times6, on peut découper 6 en 3\times2, ce qui donne 18\times3\times2, et commencer par calculer 18\times3 puis multiplier le résultat par 2.

La distributivité s’applique à la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction, et dit que le produit d’une somme (ou d’une différence) est égale à la somme (ou à la différence) des produits, c'est-à-dire que par exemple : 3\times(4+2)=3\times4+3\times2 ou encore pour la soustraction : 3\times(4-2)=3\times4-3\times2

Cette propriété est fondamentale pour manipuler les opérations : si l’on reprend l’exemple 18\times6, on peut découper 18 en 10+8, ce qui donne (10+8)\times6=10\times6+8\times6=60+48=108.

On peut aller plus loin en appliquant deux fois la distributivité : disons que l’on doive calculer 17\times12. On peut découper à la fois 17 en 10+7 et 12 en 10+2, ce qui donne :

Sans être longue, cette méthode n’est pas la plus rapide pour calculer, mais elle a le mérite de fonctionner sur toutes les multiplications et de toujours arriver à une somme de multiplications très simples (si ce n’est pas le cas, vous pouvez continuer à découper les nombres trop gros en addition de deux nombres plus simple et distribuer la multiplication).

La factorisation utilise le concept inverse de la distributivité : trouver des multiplications communes pour les regrouper et avoir moins de calculs à effectuer, potentiellement plus simples.

Disons que vous deviez calculer 26\times7+26\times3. On peut constater que la multiplication par 26 est commune, et regrouper l’addition : 26\times7+26\times3=26\times(7+3) (on constatera que c’est l'inverse du processus de distributivité), ce qui dans ce cas simplifie le calcul, car 26\times(7+3)=26\times10=260

Résoudre une opération contenant au moins un nombre à virgule est souvent plus complexe qu’une ne contenant que des nombres entiers.

Le conseil le plus simple que l’on peut vous donner est de multiplier tout le calcul par la puissance de 10 qui permettra de faire disparaître toutes les virgules (Si le rapport entre les puissances de 10 et le nombre de chiffres après la virgule n’est pas clair, allez faire un tour sur la page Multiplications par 10, 100, 1000, ...).

Multiplier par une puissance de 10 ne fonctionne pas de la même façon selon l’opération auquel on l’applique :

• Pour une multiplication, multiplier par 10 ne va faire reculer la virgule que sur un des nombres, il faut donc compter tous les chiffres après la virgule : par exemple, si vous devez résoudre 12,3\times56,78, le premier nombre a un chiffre après la virgule, le second a deux chiffres après la virgule, il faudra donc multiplier le calcul par 10^3 (=1000) pour obtenir 123\times5678.
• Pour une addition ou une soustraction, multiplier l’opération par 10 décale la virgule de tous les nombres, il suffira donc de trouver le nombre avec le plus de chiffres après la virgule : par exemple, pour 98,7-54,32, le premier nombre a un chiffre après la virgule, le second a deux chiffres après la virgule, il faudra donc multiplier le calcul par 10^2 (=100) pour obtenir 9870-5432.
• Pour une division, à chaque fois que vous voulez reculer la virgule sur le nombre du haut (le numérateur) vous devez augmenter la puissance de 10 de 1, et à chaque fois que vous vous reculez la virgule sur le nombre du bas (le dénominateur), vous devez réduire la puissance de 10 de 1 (quitte à aller dans les négatifs) : Pour passer de \frac{132,8}{4,78} à \frac{1328}{478}, il faut multiplier par 10^{-1} (+1 pour enlever la virgule du haut, -2 pour celle du bas, total 1-2=-1

Ensuite, après avoir effectué tous les calculs, il suffira de diviser le résultat par cette même puissance de 10 et vous obtiendrez le bon résultat sans avoir eu à gérer les virgules.

N’oubliez pas qu’au même titre que les astuces de calcul, on peut combiner les effets des différentes propriétés :

Si on doit calculer 39\times3+9\times7, on peut commencer par transformer 39 en 3\times13 (39\times3 devient donc 3\times13\times3), utiliser l’associativité pour calculer 3\times3 en premier, ce qui donne 39\times3=13\times9. Le calcul devient ainsi 13\times9+9\times7, et puisqu'il y a 9 comme multiplicateur commun, on peut factoriser, ce qui donne 13\times9+9\times7=9\times(13+7)=9\times20. On remplace 20 par 2\times10, on obtient ainsi 9\times2\times10=18\times10=180.

Si en voyant ce calcul vous vous êtes dit qu’il y a des méthodes ou astuces plus rapides pour le résoudre, vous avez raison ! Le but de cette fiche est de présenter des propriétés qui permettent de transformer n’importe quelle multiplication ou addition complexe, sans essayer de réduire le nombre d'étapes.