Le calcul mental est un bon entraînement pour le développement cognitif car il nécessite de travailler la mémoire de travail, la vitesse de traitement des informations et la concentration.

Cependant, se concentrer intensément sur une suite de calculs pour s'apercevoir à la fin que le résultat est incorrect et ce depuis le premier calcul est un sentiment que l'on ne vous souhaite pas.

L'objectif de cette fiche est de vous décrire un outil de vérification, avec pour objectif de vous aider à détecter rapidement quand un résultat ne peut pas être correct.

Les critères de divisibilité sont des propriétés, qui, si elles sont respectées, indiquent qu’un nombre est divisibleOn dit d'un nombre a qu'il est divisible par un nombre b si il existe un nombre entier c tel que b = a*c par un autre. Ces critères sont cependant souvent utilisés avec des multiplications, car ils permettent de déterminer si le résultat d’une multiplication est plausible.

Par exemple, si on multiplie un nombre par 2, le résultat sera forcément divisible par 2, et parce qu’on sait qu’un nombre divisible par 2 est forcément pair, on peut en déduire que le résultat sera pair. C’est particulièrement utile si vous devez choisir parmi plusieurs réponses possibles, pour en éliminer certaines immédiatement.

Les critères de divisibilité ne s’entendent que pour les nombres entiers (ou relatifs) mais pas pour les nombres à virgule, parce que si on s’autorise à accepter une virgule au résultat obtenu, on peut diviser beaucoup de nombres sans rien en déduire : par exemple \frac{3}{2}=1.5, ce qui ne nous apprend rien si on accepte 1.5 comme résultat possible.

Un nombre est divisible par 2 s’il est pair, c'est-à-dire qu’il finit par 0, 2, 4, 6 ou 8.

Un nombre est divisible par 3 si la somme des chiffres du résultat est un multiple de 3.

Il se peut qu'on doive appliquer cette règle plusieurs fois : considérons par exemple le nombre 95 478 951.

La somme de ses chiffres vaut 9+5+4+7+8+9+5+1=48, mais est-ce que 48 est multiple de 3 ? Eh bien pour avoir la réponse, il suffit de réappliquer la méthode : 4+8=12, qui est dans la table de 3, donc 48 est bien multiple de 3, et donc 95 478 951 l’est aussi.

On s'est arrêté à 12 car 12 est dans la table de 3, mais on pourrait continuer : 12-->1 + 2 = 3 et là plus aucun doute.

Un nombre est divisible par 4 s’il est pair et que sa moitié est paire aussi. Par exemple, 148 est un multiple de 4, car c'est un nombre pair et que sa moitié (\frac{148}{2}=74) aussi est paire.

Les seuls chiffres pouvant changer la parité en divisant 2 fois par 2 sont les chiffres des unités et des dizaines, donc il n’y a pas besoin de considérer les autres : par exemple, le nombre 548 984 215 874 123 448 est divisible par 4 car 48 l'est.

Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.

Un nombre divisible par 6 doit forcément être divisible par 2 ET par 3 : il faut donc qu’il soit pair et que la somme de ses chiffres soit un multiple de 3.

En théorie, il existe un critère de divisibilité par 7, mais il n’est pas évident. On va l’expliquer ici, mais il sera souvent plus rapide de faire la division directement (ou la multiplication dans l’autre sens) plutôt que d’essayer d’appliquer le critère.

Un nombre est divisible par 7 si la somme du nombre de dizaines et du produit du chiffre des unités par 5 est lui-même divisible par 7.

Attention, on parle du nombre de dizaines, pas du chiffre des dizaines : par exemple, 548 a 54 dizaines, 137 a 13 dizaines, 8654 a 865 dizaines, …

Prenons par exemple le nombre 2478.

On commence par multiplier par 5 le chiffre des unités (8), ce qui donne 8\times5=40. On ajoute ensuite à ce résultat le nombre de dizaines du nombre : 40+247=287. La question devient : est-ce que 287 est multiple de 7 ? Pour savoir, il faut réappliquer la méthode : on multiplie par 5 le chiffre des unités (7) : 5\times7=35, puis on lui ajoute le nombre de dizaines du nombre : 35+28=63. 63 est bien dans la table de 7, donc 287 est un multiple de 7, donc 2478 l’est aussi.

Par comparaison, si on procède par tâtonnement :

On regarde les deux premiers chiffres (24), on cherche dans la table de 7 le résultat le plus proche sans dépasser, c’est 3\times7=21 et on multiplie par une puissance de 10 égale au nombre de chiffres ignorés dans le nombre initial (le nombre initial est 2478, on n’a regardé que 24, on a donc ignoré deux chiffres → on multiplie par 100

7\times300=2100, il reste 378 (2478-2100=378) à atteindre.

On réapplique le même raisonnement : on ne considère que 37, on trouve 7\times5=35, on a ignoré un chiffre (le 8) donc on multiplie par 10 : 7\times50=350, et il reste 28 (378-350=28) à atteindre.

Et on sait que 7\times4=28.

La méthode peut sembler plus longue, mais elle permet non pas simplement de savoir si le nombre est divisible par 7, mais quel est le résultat de la division : pour reprendre l’exemple du dessus, \frac{2478}{7}=300+50+4=354

Un nombre est divisible par 8 si on peut le diviser 3 fois par 2 (car 8=2\times2\times2), c'est-à-dire que le nombre doit être pair, sa moitié aussi, et la moitié de sa moitié aussi.

Un peu comme pour le critère par 4, seuls les trois derniers chiffres peuvent influer sur la parité du nombre divisé 3 fois par 2, donc on peut ignorer les autres : si on reprend le nombre 548 984 215 874 123 448, on a juste besoin de regarder les trois derniers chiffres → si 448 est divisible par 8, alors tout le nombre l’est.

À noter : 8=2\times4, donc on peut aussi considérer que le nombre doit être pair (critère par 2) et que sa moitié doit être un multiple de 4.

Reprenons 548 984 215 874 123 448.

• Étape 0 : on ne considère que 448.
• Étape 1 : le nombre est pair, car il se termine par 8.
• Étape 2 : on divise le nombre par 2, on obtient \frac{448}{2}=224
• Étape 3 : on vérifie si le nombre est divisible par 4. On se rappelle le critère par 4 qui dit qu’on a besoin de ne considérer que les deux derniers chiffre : 24
• Étape 4 : 24 est bien dans la table de 4 (4\times6=24), donc 224 l’est aussi, ce qui implique que son double (448) soit bien dans la table de 8, et donc 548 984 215 874 123 448 aussi.

Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Même raisonnement que pour la table de 3, il est possible que l'on doive appliquer ce critère plusieurs fois.

Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0.